การแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลคืออะไร?
การแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลหมายถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องและคงที่ซึ่งจริง ๆ แล้วใช้เพื่อจำลองช่วงเวลาที่บุคคลต้องรอก่อนที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นและการแจกแจงนี้เป็นส่วนต่อเนื่องของการแจกแจงทางเรขาคณิตที่แตกต่างกัน
สูตรการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล
ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องx (พร้อมพารามิเตอร์มาตราส่วนλ> 0) กล่าวกันว่ามีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลก็ต่อเมื่อฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของมันสามารถแสดงได้โดยการคูณพารามิเตอร์มาตราส่วนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังของพารามิเตอร์สเกลลบและxสำหรับxทั้งหมดที่มากกว่าหรือ เท่ากับศูนย์มิฉะนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะเท่ากับศูนย์
ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะแสดงเป็น
ค่าเฉลี่ยดังกล่าวเท่ากับ 1 / λและความแปรปรวนเท่ากับ 1 / λ2
การคำนวณการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียล (ทีละขั้นตอน)
- ขั้นตอนที่ 1:ประการแรกพยายามหาว่าเหตุการณ์ที่กำลังพิจารณานั้นเป็นไปอย่างต่อเนื่องและเป็นอิสระตามธรรมชาติและเกิดขึ้นในอัตราคงที่โดยประมาณหรือไม่ เหตุการณ์ในทางปฏิบัติใด ๆ จะทำให้แน่ใจว่าตัวแปรมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
- ขั้นตอนที่ 2:จากนั้นกำหนดค่าของพารามิเตอร์มาตราส่วนซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยซึ่งกันและกันของค่าเฉลี่ย
- λ = 1 / ค่าเฉลี่ย
- ขั้นตอนที่ 3:ถัดไปคูณพารามิเตอร์มาตราส่วนλและตัวแปรxแล้วคำนวณฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลของผลิตภัณฑ์คูณด้วยหนึ่งลบเช่น e– λ * x
- ขั้นตอนที่ 4:สุดท้ายฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะถูกคำนวณโดยการคูณฟังก์ชันเลขชี้กำลังและพารามิเตอร์มาตราส่วน
หากสูตรข้างต้นเป็นจริงสำหรับxทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ดังนั้นxคือการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล
ตัวอย่าง
คุณสามารถดาวน์โหลดเทมเพลต Excel การกระจายแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลได้ที่นี่ - เทมเพลต Excel การกระจายแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล
ขอให้เราใช้ตัวอย่าง x ซึ่งเป็นระยะเวลาที่พนักงานในสำนักงานใช้ (เป็นนาที) เพื่อส่งจากโต๊ะของผู้จัดการไปยังโต๊ะของเสมียน ฟังก์ชันของเวลาที่ใช้ถือว่ามีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลโดยมีจำนวนเวลาเฉลี่ยเท่ากับห้านาที
ระบุว่าxเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องตั้งแต่มีการวัดเวลา
ค่าเฉลี่ยμ = 5 นาที
ดังนั้นพารามิเตอร์มาตราส่วนλ = 1 / μ = 1/5 = 0.20
ดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงเลขชี้กำลังจึงได้มาเป็น
f (x) = 0.20 จ - 0.20 * x
ตอนนี้ให้คำนวณฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่ค่าต่างๆของxเพื่อหาเส้นโค้งการแจกแจง
สำหรับ x = 0
ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงเลขชี้กำลังสำหรับ x = 0 จะเป็น
ในทำนองเดียวกันให้คำนวณฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับ x = 1 ถึง x = 30
- สำหรับ x = 0, f (0) = 0.20 e -0.20 * 0 = 0.200
- สำหรับ x = 1, f (1) = 0.20 e -0.20 * 1 = 0.164
- สำหรับ x = 2, f (2) = 0.20 e -0.20 * 2 = 0.134
- สำหรับ x = 3, f (3) = 0.20 e -0.20 * 3 = 0.110
- สำหรับ x = 4, f (4) = 0.20 e -0.20 * 4 = 0.090
- สำหรับ x = 5, f (5) = 0.20 e -0.20 * 5 = 0.074
- สำหรับ x = 6, f (6) = 0.20 e -0.20 * 6 = 0.060
- สำหรับ x = 7, f (7) = 0.20 e -0.20 * 7 = 0.049
- สำหรับ x = 8, f (8) = 0.20 e -0.20 * 8 = 0.040
- สำหรับ x = 9, f (9) = 0.20 e -0.20 * 9 = 0.033
- สำหรับ x = 10, f (10) = 0.20 e -0.20 * 10 = 0.027
- สำหรับ x = 11, f (11) = 0.20 e -0.20 * 11 = 0.022
- สำหรับ x = 12, f (12) = 0.20 e -0.20 * 12 = 0.018
- สำหรับ x = 13, f (13) = 0.20 e -0.20 * 13 = 0.015
- สำหรับ x = 14, f (14) = 0.20 e -0.20 * 14 = 0.012
- สำหรับ x = 15, f (15) = 0.20 e -0.20 * 15 = 0.010
- สำหรับ x = 16, f (16) = 0.20 e -0.20 * 16 = 0.008
- สำหรับ x = 17, f (17) = 0.20 e -0.20 * 17 = 0.007
- สำหรับ x = 18, f (18) = 0.20 e -0.20 * 18 = 0.005
- สำหรับ x = 19, f (19) = 0.20 e -0.20 * 19 = 0.004
- สำหรับ x = 20, f (20) = 0.20 e -0.20 * 20 = 0.004
- สำหรับ x = 21, f (21) = 0.20 e -0.20 * 21 = 0.003
- สำหรับ x = 22, f (22) = 0.20 e -0.20 * 22 = 0.002
- สำหรับ x = 23, f (23) = 0.20 e -0.20 * 23 = 0.002
- สำหรับ x = 24, f (24) = 0.20 e -0.20 * 24 = 0.002
- สำหรับ x = 25, f (25) = 0.20 e -0.20 * 25 = 0.001
- สำหรับ x = 26, f (26) = 0.20 e -0.20 * 26 = 0.001
- สำหรับ x = 27, f (27) = 0.20 e -0.20 * 27 = 0.001
- สำหรับ x = 28, f (28) = 0.20 e -0.20 * 28 = 0.001
- สำหรับ x = 29, f (29) = 0.20 e -0.20 * 29 = 0.001
- สำหรับ x = 30, f (30) = 0.20 e -0.20 * 30 = 0.000
เราได้เส้นโค้งการกระจายมาดังนี้
ความเกี่ยวข้องและการใช้งาน
แม้ว่าสมมติฐานของอัตราคงที่จะไม่ค่อยเป็นที่พอใจนักในสถานการณ์จริงหากช่วงเวลาถูกเลือกในลักษณะที่อัตราคงที่โดยประมาณการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสามารถใช้เป็นแบบจำลองโดยประมาณที่ดีได้ มีแอปพลิเคชั่นอื่น ๆ อีกมากมายในสาขาฟิสิกส์อุทกวิทยา ฯลฯ
ในสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็นนิพจน์ของการแจกแจงเลขชี้กำลังหมายถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ใช้กำหนดเวลาระหว่างเหตุการณ์ต่อเนื่องสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างอิสระและต่อเนื่องในอัตราเฉลี่ยคงที่ เป็นหนึ่งในการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่ใช้กันอย่างแพร่หลายและเกี่ยวข้องอย่างเคร่งครัดกับการแจกแจงแบบปัวซองใน excel